નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

(N/A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx$.
કારણ કે $\sin^{2}(-x) = (\sin(-x))^{2} = (-\sin x)^{2} = \sin^{2} x$,તેથી વિધેય $f(x) = \sin^{2} x$ એ યુગ્મ વિધેય છે.
યુગ્મ વિધેય માટેના ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$.
પદોનું સંકલન કરતા:
$I = \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(\pi)}{2} \right) - (0 - 0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$.